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<!DOCTYPE html>

<title>Winkelhalbierende</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Winkelhalbierende</span></h1>

</header>

</div>

<p>In der ebenen <a href="Geometrie" title="Geometrie">Geometrie</a> ist die <b>Winkelhalbierende</b> eines <a href="Winkel" title="Winkel">Winkels</a> die <a href="Halbgerade" class="mw-redirect" title="Halbgerade">Halbgerade</a>, die durch den <a href="Scheitelpunkt_(Winkel)" class="mw-redirect" title="Scheitelpunkt (Winkel)">Scheitelpunkt</a> des Winkels läuft und das Winkelfeld in zwei <a href="Deckungsgleich" class="mw-redirect" title="Deckungsgleich">deckungsgleiche</a> Teile teilt.

</p><p>Zwei sich schneidende <a href="Gerade" title="Gerade">Geraden</a> bestimmt zwei Winkelhalbierende, in diesem Falle Geraden, die zueinander <a href="Orthogonalit%C3%A4t" title="Orthogonalität">orthogonal</a> sind. Jede dieser Winkelhalbierenden ist eine <a href="Symmetrieachse" class="mw-redirect" title="Symmetrieachse">Symmetrieachse</a> der geometrischen Figur, die von den sich schneidenden Geraden gebildet wird. Aus dieser Symmetrieeigenschaft folgt eine Charakterisierung der beiden Winkelhalbierenden als <a href="Geometrischer_Ort" title="Geometrischer Ort">geometrischer Ort</a>, die als <b>Winkelhalbierendensatz</b> bezeichnet wird.

</p><p>In der <a href="Analytische_Geometrie" title="Analytische Geometrie">analytischen Geometrie</a> und in der <a href="Analysis" title="Analysis">Analysis</a> spielen die Winkelhalbierenden der <a href="Koordinatenachse" title="Koordinatenachse">Koordinatenachsen</a> eines <a href="Kartesisches_Koordinatensystem" title="Kartesisches Koordinatensystem">kartesischen Koordinatensystems</a> eine besondere Rolle. Diejenige, die durch den I. und III. <a href="Quadrant_(Mathematik)" title="Quadrant (Mathematik)">Quadranten</a> verläuft, heißt <b>1. Winkelhalbierende</b> oder <b>1. Mediane</b>, die andere <b>2. Winkelhalbierende</b>.

</p><p>In der <a href="Synthetische_Geometrie" title="Synthetische Geometrie">synthetischen Geometrie</a> werden die Winkelhalbierenden von sich schneidenden Geraden ebenfalls durch ihre Eigenschaft als <a href="Symmetrieachse" class="mw-redirect" title="Symmetrieachse">Symmetrieachsen</a> definiert. Die Existenz dieser Winkelhalbierenden ist dort eines der Axiome, die eine <i>frei bewegliche <a href="Pr%C3%A4euklidische_Ebene" title="Präeuklidische Ebene">präeuklidische Ebene</a></i> kennzeichnen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Winkelhalbierende_in_der_ebenen_Geometrie">Winkelhalbierende in der ebenen Geometrie</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Konstruktion">Konstruktion</h3></div>

<p>Ein <a href="Winkel" title="Winkel">Winkel</a> ist durch seine beiden Schenkel, also die <a href="Halbgerade" class="mw-redirect" title="Halbgerade">Halbgeraden</a> mit gemeinsamen Anfang im Scheitel des Winkels, gegeben. Dann kann die Winkelhalbierende mit <a href="Zirkel_und_Lineal" class="mw-redirect" title="Zirkel und Lineal">Zirkel und Lineal</a> konstruiert werden: Um den Scheitelpunkt wird ein <a href="Kreis_(Geometrie)" class="mw-redirect" title="Kreis (Geometrie)">Kreis</a> mit beliebigem <a href="Radius" title="Radius">Radius</a> gezeichnet. An den <a href="Schnittpunkt" title="Schnittpunkt">Schnittpunkten</a> mit den Schenkeln des Winkels wird der Zirkel erneut angesetzt. Dann zeichnet man jeweils einen Kreis mit gleichem Radius. Die Schnittpunkte dieser zwei Kreise liegen auf der Winkelhalbierenden.

</p><p>Bei dieser Konstruktion wird benutzt, dass die Winkelhalbierende zugleich <a href="Mittelsenkrechte" title="Mittelsenkrechte">Mittelsenkrechte</a> in dem <a href="Gleichschenkliges_Dreieck" title="Gleichschenkliges Dreieck">gleichschenkligen Dreieck</a> ist, das durch den Scheitel und die zwei ersten Hilfspunkte gegeben ist.

</p>

<p>Liegen allgemeiner zwei <a href="Gerade" title="Gerade">Geraden</a> vor, die sich in einem <a href="Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkt</a> schneiden, so haben wir vier <a href="Winkel" title="Winkel">Winkel</a> und damit vier Winkelhalbierende. Die Winkelhalbierenden zweier Scheitelwinkel fallen zusammen, also bleiben nur zwei Winkelhalbierende übrig. Diese zwei Winkelhalbierenden – die zueinander <a href="Orthogonal" class="mw-redirect" title="Orthogonal">orthogonal</a> sind – nennt man die <i>Winkelhalbierenden der zwei Geraden</i> (siehe Abbildung rechts).

</p><p>Wenn wir wieder zu dem Fall eines <a href="Winkel" title="Winkel">Winkels</a> zurückkommen, der von zwei Schenkeln (<a href="Halbgerade" class="mw-redirect" title="Halbgerade">Halbgeraden</a>) begrenzt wird, und nun diese Schenkel zu <a href="Gerade" title="Gerade">Geraden</a> verlängern, dann bekommen wir zwei Geraden mit zwei Winkelhalbierenden. Die eine ist die Winkelhalbierende des ursprünglichen Winkels. Die andere ist die Winkelhalbierende seines <a href="Nebenwinkel" class="mw-redirect" title="Nebenwinkel">Nebenwinkels</a>. Sie heißt <i>Außenwinkelhalbierende</i> des ursprünglichen Winkels.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Winkelhalbierendensatz">Winkelhalbierendensatz</h3></div>

<p>Die Winkelhalbierende ist die Menge aller <a href="Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkte</a>, die von den beiden Geraden gleich weit entfernt sind.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Das bedeutet, dass ein Punkt genau dann auf der Winkelhalbierenden liegt, wenn er von beiden Schenkeln denselben <a href="Abstand" title="Abstand">Abstand</a> hat.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Winkelhalbierende_im_Dreieck">Winkelhalbierende im Dreieck</h3></div>

<p>Ist in der <a href="Dreieck" title="Dreieck">Dreieckslehre</a> von Winkelhalbierenden die Rede, so bezieht sich dieser Begriff meist auf die <a href="Innenwinkel" title="Innenwinkel">Innenwinkel</a>, seltener auf die <a href="Au%C3%9Fenwinkel" title="Außenwinkel">Außenwinkel</a>. Hier wird die Winkelhalbierende eines Innenwinkels <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"></span> oft als <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w_{\alpha }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w_{\alpha }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5138271001e8db3f92ad1431b891a2d1434fe150.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.948ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle w_{\alpha }}" loading="lazy"></span> abgekürzt. Dieses Kürzel steht dann zugleich auch für die Strecke auf der Winkelhalbierenden, die innerhalb des Dreiecks liegt, und in Konstruktionsaufgaben auch für deren <a href="L%C3%A4nge_(Mathematik)" title="Länge (Mathematik)">Länge</a>.

</p><p>Für diese Winkelhalbierenden gelten unter anderem folgende <a href="Satz_(Mathematik)" title="Satz (Mathematik)">Sätze</a>:

</p>

<ul><li>Die drei Winkelhalbierenden der Innenwinkel eines <a href="Dreieck" title="Dreieck">Dreiecks</a> schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des <a href="Inkreis" title="Inkreis">Inkreises</a> (siehe <a href="Ausgezeichnete_Punkte_im_Dreieck" title="Ausgezeichnete Punkte im Dreieck">Ausgezeichnete Punkte im Dreieck</a>).</li>

<li>Jede Winkelhalbierende eines Innenwinkels im <a href="Dreieck" title="Dreieck">Dreieck</a> teilt die gegenüberliegende Seite im <a href="Verh%C3%A4ltnis_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Verhältnis (Mathematik)">Verhältnis</a> der anliegenden Seiten. Diese Aussage wird auch als <a href="Winkelhalbierendensatz_(Dreieck)" title="Winkelhalbierendensatz (Dreieck)">Winkelhalbierendensatz</a> bezeichnet und lässt sich mithilfe <a href="%C3%84hnlichkeit_(Geometrie)" title="Ähnlichkeit (Geometrie)">ähnlicher Dreiecke</a> oder durch Anwendung des <a href="Sinussatz" title="Sinussatz">Sinussatzes</a> beweisen.</li>

<li>Für die <a href="L%C3%A4nge_(Mathematik)" title="Länge (Mathematik)">Länge</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w_{c}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w_{c}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9868b2118a7dfc0a2967ebb725651cc0f1b77c09.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.608ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle w_{c}}" loading="lazy"></span> der Halbierenden eines <a href="Innenwinkel" title="Innenwinkel">Innenwinkels</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" loading="lazy"></span> und für die anliegenden Seiten der Länge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"></span> gilt die Beziehung:</li></ul>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w_{c}={\frac {2ab}{a+b}}\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b07415c92e5c150074ea77fd9248bab27eca3898.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:19.983ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle w_{c}={\frac {2ab}{a+b}}\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}" loading="lazy"></span><sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></dd></dl></dd></dl>

<dl><dd>Sind hingegen alle drei Seiten gegeben, so gilt:</dd></dl>

<msub>

</mrow>

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<msqrt>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

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</mfrac>

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</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w_{c}={\sqrt {a\cdot b\left(1-{\frac {c^{2}}{(a+b)^{2}}}\right)}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb18d45e604576caeed866adb9331bbf487ef62d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:28.516ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle w_{c}={\sqrt {a\cdot b\left(1-{\frac {c^{2}}{(a+b)^{2}}}\right)}}}" loading="lazy"></span><sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></dd></dl></dd></dl>

<ul><li>Die Halbierenden eines <a href="Innenwinkel" title="Innenwinkel">Innenwinkels</a> und der zu den beiden anderen Innenwinkeln gehörenden <a href="Au%C3%9Fenwinkel" title="Außenwinkel">Außenwinkel</a> eines <a href="Dreieck" title="Dreieck">Dreiecks</a> schneiden sich jeweils in einem <a href="Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkt</a>. Dieser Punkt ist der <a href="Mittelpunkt" title="Mittelpunkt">Mittelpunkt</a> eines <a href="Ankreis" title="Ankreis">Ankreises</a>.</li>

<li>Die <a href="Schnittpunkt" title="Schnittpunkt">Schnittpunkte</a> der Halbierenden der <a href="Au%C3%9Fenwinkel" title="Außenwinkel">Außenwinkel</a> mit den verlängerten Gegenseiten der entsprechenden <a href="Innenwinkel" title="Innenwinkel">Innenwinkel</a> liegen, sofern sie existieren, auf einer <a href="Gerade" title="Gerade">Geraden</a>.</li>

<li>Jede Winkelhalbierende schneidet die Mittelsenkrechte der dem Winkel gegenüberliegenden Seite auf dem Umkreis des (nicht-gleichschenkligen) Dreiecks. Dies ist der sogenannte <a href="S%C3%BCdpolsatz" title="Südpolsatz">Südpolsatz</a>.</li></ul>

<ul><li>Die Fußpunkte der Winkelhalbierenden (Schnittpunkte der Winkelhalbierenden mit den Seiten des Dreiecks) sind gegeben durch (baryzentrisch):</li></ul>

<msub>

</mrow>

</msub>

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<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W_{a}=\left(0:b:c\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be1f82cb000c02c2d979a057f6bc0d806f3793c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.244ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle W_{a}=\left(0:b:c\right)}" loading="lazy"></span></dd>

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</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W_{b}=\left(a:0:c\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/82861ec95d1f2f1f0f96f34ac5cab8049c3645e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.313ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle W_{b}=\left(a:0:c\right)}" loading="lazy"></span></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W_{c}=\left(a:b:0\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b04365580571743bdbf7cc142afca4cef422880d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.31ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle W_{c}=\left(a:b:0\right)}" loading="lazy"></span></dd></dl></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Winkelhalbierende_im_Viereck">Winkelhalbierende im Viereck</h3></div>

<p>Die Winkelhalbierenden eines <a href="Viereck" title="Viereck">Vierecks</a> begrenzen im Allgemeinen ein <a href="Sehnenviereck" title="Sehnenviereck">Sehnenviereck</a>. Beim <a href="Tangentenviereck" title="Tangentenviereck">Tangentenviereck</a> ist es zu einem <a href="Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkt</a> entartet. Beim Sehnenviereck ist das eingeschlossene Viereck <a href="Orthodiagonales_Viereck" title="Orthodiagonales Viereck">orthodiagonal</a>. Die Winkelhalbierenden eines <a href="Parallelogramm" title="Parallelogramm">Parallelogramms</a> schließen im Allgemeinen ein <a href="Rechteck" title="Rechteck">Rechteck</a> ein, die Winkelhalbierenden eines Rechtecks ein <a href="Quadrat_(Geometrie)" class="mw-redirect" title="Quadrat (Geometrie)">Quadrat</a>, die Winkelhalbierende eines <a href="Gleichschenkliges_Trapez" class="mw-redirect" title="Gleichschenkliges Trapez">gleichschenkligen Trapezes</a> ein <a href="Drachenviereck" title="Drachenviereck">Drachenviereck</a>, die Winkelhalbierende eines Vierecks mit gleichen gegenüberliegenden Winkeln ein gleichschenkliges Trapez.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Gleichungen">Gleichungen</h3></div>

<p>Sind die <a href="Gleichung" title="Gleichung">Gleichungen</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0,\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0,\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6296d768a47c24df7fb5476aa05f4db4476e6864.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:39.262ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0,\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0}" loading="lazy"></span> zweier <a href="Gerade" title="Gerade">Geraden</a> gegeben, so ergeben sich die Gleichungen ihrer Winkelhalbierenden mit Hilfe ihrer <a href="Hessesche_Normalform" title="Hessesche Normalform">Hesseschen Normalformen</a>:

</p>

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</msubsup>

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</msubsup>

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</mrow>

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</msub>

</mrow>

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}}=\pm {\frac {a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}}.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9aa8b44e033bba955d2f7fd43d39e39ee300b46d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:36.351ex; height:8.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}}=\pm {\frac {a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}}.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Denn die Winkelhalbierenden bilden die Gesamtheit der <a href="Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkte</a>, die von den beiden Geraden den gleichen <a href="Abstand" title="Abstand">Abstand</a> besitzen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Winkelhalbierende_eines_Koordinatensystems">Winkelhalbierende eines Koordinatensystems</h2></div>

<p>In einem <a href="Kartesisches_Koordinatensystem" title="Kartesisches Koordinatensystem">kartesischen Koordinatensystem</a> spielen die beiden Winkelhalbierenden der Koordinatenachsen eine besondere Rolle:

</p><p>Als <i>1. Winkelhalbierende</i> (Winkelhalbierende des I. und III. <a href="Quadrant_(Mathematik)" title="Quadrant (Mathematik)">Quadranten</a>) bezeichnet man die <a href="Gerade" title="Gerade">Gerade</a> mit der <a href="Gleichung" title="Gleichung">Gleichung</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d0abe2e7da593fb7b41d44e87a97fefdd8998b77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.584ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y=x}" loading="lazy"></span>. Dieser <a href="Funktionsgraph" title="Funktionsgraph">Funktionsgraph</a> ist die <a href="Ursprungsgerade" title="Ursprungsgerade">Ursprungsgerade</a> mit der <a href="Steigung" title="Steigung">Steigung</a> 1. Sie heißt in Österreich <i>1. Mediane</i>.

</p><p>Als <i>2. Winkelhalbierende</i> (Winkelhalbierende des II. und IV. Quadranten) bezeichnet man die Gerade mit der Gleichung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=-x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=-x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6dc241070d3d2b22773a6616722efedb7c7f8ace.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.392ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle y=-x}" loading="lazy"></span>. Dieser Funktionsgraph ist die Ursprungsgerade mit der Steigung −1.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verallgemeinerungen">Verallgemeinerungen</h2></div>

<div class="sieheauch" role="navigation" style="font-style:italic;"><span class="sieheauch-text">Siehe auch</span>: <a href="Dreiteilung_des_Winkels" title="Dreiteilung des Winkels">Dreiteilung des Winkels</a></div>

<p>Mithilfe von <a href="Iteration" title="Iteration">iterativer</a> Winkelhalbierung kann ein <a href="Winkel" title="Winkel">Winkel</a> auch in <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\cdot 2=2^{2}=4}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\cdot 2=2^{2}=4}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72497586a5b58ad9dced80c6f08ac51e37d9d1f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.58ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 2\cdot 2=2^{2}=4}" loading="lazy"></span>, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=2^{3}=8}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=2^{3}=8}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/383ca878ca55fb9bb24cd0755b89aec4b6cbfe70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:16.422ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=2^{3}=8}" loading="lazy"></span>, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^{4}=16}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^{4}=16}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d32b519828f1b4ec6d610e6de8a9da3246f72be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:20.426ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^{4}=16}" loading="lazy"></span> oder allgemein in <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{k}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{k}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2d82641ae2702b0db07dd11830af27b9ee0cd196.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.251ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 2^{k}}" loading="lazy"></span> <a href="Deckungsgleich" class="mw-redirect" title="Deckungsgleich">deckungsgleiche</a> Teile geteilt werden. Dazu werden die halbierten Winkel jeweils erneut halbiert. Um einen Winkel zum Beispiel in <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^{4}=16}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^{4}=16}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d32b519828f1b4ec6d610e6de8a9da3246f72be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:20.426ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^{4}=16}" loading="lazy"></span> gleiche Teile zu teilen, müssen nacheinander 4 Winkelhalbierende konstruiert werden.

</p><p>Dieses Verfahren lässt sich verallgemeinern: Ist ein Winkel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"></span> gegeben, dann kann der Winkel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {n}{2^{k}}}\cdot \alpha }">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {n}{2^{k}}}\cdot \alpha }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a4d8af2a66da516a33d8387dc695d69fc99d1256.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:6.254ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {n}{2^{k}}}\cdot \alpha }" loading="lazy"></span> konstruiert werden, wenn <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"></span> <a href="Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl">natürliche Zahlen</a> sind. Dabei hilft die <a href="Zahldarstellung" title="Zahldarstellung">Zahldarstellung</a> im <a href="Dualsystem" title="Dualsystem">Binärsystem</a>, denn der <a href="Quotient" title="Quotient">Quotient</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {n}{2^{k}}}}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {n}{2^{k}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/05c25be2c6b92bfa326791acbd3811011c83dfa0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:3.087ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {n}{2^{k}}}}" loading="lazy"></span> hat eine endliche Darstellung mit höchstens <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"></span> binären <a href="Nachkommastelle" title="Nachkommastelle">Nachkommastellen</a>. Soll zum Beispiel der Winkel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {5}{8}}\cdot \alpha }">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {5}{8}}\cdot \alpha }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b25cf6924add5b13a32a67af0415c4045b2a663f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:5.165ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {5}{8}}\cdot \alpha }" loading="lazy"></span> konstruiert werden, dann hilft die <a href="Dualsystem" title="Dualsystem">binäre</a> Darstellung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {5}{8}}=[0{,}101]_{2}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {5}{8}}=[0{,}101]_{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15ebce3b0ce77e52d15ecd1c3e3b103d6847c87f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.742ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {5}{8}}=[0{,}101]_{2}}" loading="lazy"></span>. Daraus ergibt sich <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {5}{8}}\cdot \alpha =\alpha \cdot \left({\frac {1}{2}}+\left({\frac {1}{4}}-{\frac {1}{8}}\right)\right)={\frac {\alpha }{2}}+{\frac {\alpha }{4}}-{\frac {\alpha }{8}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {5}{8}}\cdot \alpha =\alpha \cdot \left({\frac {1}{2}}+\left({\frac {1}{4}}-{\frac {1}{8}}\right)\right)={\frac {\alpha }{2}}+{\frac {\alpha }{4}}-{\frac {\alpha }{8}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43049fa99fb453e935e9c4b6977566637fbaac1f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:45.7ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {5}{8}}\cdot \alpha =\alpha \cdot \left({\frac {1}{2}}+\left({\frac {1}{4}}-{\frac {1}{8}}\right)\right)={\frac {\alpha }{2}}+{\frac {\alpha }{4}}-{\frac {\alpha }{8}}}" loading="lazy"></span>. Der Winkel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {5}{8}}\cdot \alpha }">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {5}{8}}\cdot \alpha }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b25cf6924add5b13a32a67af0415c4045b2a663f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:5.165ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {5}{8}}\cdot \alpha }" loading="lazy"></span> kann also konstruiert werden, indem am <a href="Scheitelpunkt" title="Scheitelpunkt">Scheitelpunkt</a> nacheinander der Winkel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdef256f0350d0752d860411bf296841f6f15286.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:2.324ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}" loading="lazy"></span> im Uhrzeigersinn, der Winkel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\alpha }{4}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\alpha }{4}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e88984d98d4375a26ac0ace68b202370a034c9c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:2.324ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\alpha }{4}}}" loading="lazy"></span> im Uhrzeigersinn und der Winkel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\alpha }{8}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\alpha }{8}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56c68ea864700fff25820f045632819e1a25aff6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:2.324ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\alpha }{8}}}" loading="lazy"></span> gegen den Uhrzeigersinn konstruiert wird.

</p><p>Es gilt folgender Satz: Ist ein Winkel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"></span> gegeben und sind <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"></span> <a href="Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl">natürliche Zahlen</a>, dann kann der Winkel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {p}{q}}\cdot \alpha }">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {p}{q}}\cdot \alpha }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce1a26fa32bb3b74446ebd7bbf96e52c35a49e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:5.172ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {p}{q}}\cdot \alpha }" loading="lazy"></span> genau dann mit <a href="Konstruktion_mit_Zirkel_und_Lineal" title="Konstruktion mit Zirkel und Lineal">Zirkel und Lineal</a> konstruiert werden, wenn <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"></span> eine <a href="Zweierpotenz" class="mw-redirect" title="Zweierpotenz">Zweierpotenz</a> ist, also <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q=2^{k}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q=2^{k}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b2071844d0109085d544b4c5fc4de83d738bbae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.419ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle q=2^{k}}" loading="lazy"></span>. Für alle anderen natürlichen Zahlen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"></span> ist das nicht möglich.<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Das <a href="Geometrisch" class="mw-redirect" title="Geometrisch">geometrische</a> Problem der <a href="Dreiteilung_des_Winkels" title="Dreiteilung des Winkels">Dreiteilung des Winkels</a>, das seit dem 5. Jahrhundert v. Chr. bekannt ist, kann daher nicht mit Zirkel und Lineal gelöst werden.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Synthetische_Geometrie">Synthetische Geometrie</h2></div>

<p>Eine <a href="Pr%C3%A4euklidische_Ebene" title="Präeuklidische Ebene">präeuklidische Ebene</a> ist in der <a href="Synthetische_Geometrie" title="Synthetische Geometrie">synthetischen Geometrie</a> eine <a href="Affine_Ebene" title="Affine Ebene">affine Ebene</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f123baef27cc7331ccc361c0c4a18c2faedfa011.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.148ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle K^{2}}" loading="lazy"></span> über einem <a href="K%C3%B6rper_(Algebra)" title="Körper (Algebra)">Körper</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"></span>, dessen <a href="Charakteristik_(Algebra)" title="Charakteristik (Algebra)">Charakteristik</a> nicht 2 ist, zusammen mit einer <a href="Pr%C3%A4euklidische_Ebene#Orthogonalität" title="Präeuklidische Ebene">Orthogonalitätsrelation ohne isotrope Geraden</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \perp }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \perp }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/afb90d6db42aa12f9e2f31176a4ed4e741c69eca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \perp }" loading="lazy"></span> zwischen den Geraden der Ebene. In einer solchen Ebene können (senkrechte) Achsenspiegelungen definiert werden (siehe <a href="Spiegelung_(Geometrie)#Achsenspiegelung" title="Spiegelung (Geometrie)">Spiegelung (Geometrie) – Achsenspiegelung</a>).

</p><p>Als <b>Winkelhalbierenden-Axiom</b> wird die folgende Aussage bezeichnet:

</p>

<ul><li>Zu zwei <a href="Gerade" title="Gerade">Geraden</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/181523deba732fda302fd176275a0739121d3bc8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.261ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b}" loading="lazy"></span> existiert eine Gerade <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy"></span>, so dass bei der <a href="Achsenspiegelung" class="mw-redirect" title="Achsenspiegelung">Achsenspiegelung</a> an <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy"></span> die Gerade <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> auf die Gerade <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"></span> abgebildet wird.</li></ul>

<p>Sind die Geraden <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/181523deba732fda302fd176275a0739121d3bc8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.261ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b}" loading="lazy"></span> parallel und verschieden, so ist deren <a href="Mittelparallele" title="Mittelparallele">Mittelparallele</a> eine Gerade, die die geforderte Symmetrieeigenschaft hat. Da Mittelparallelen in einer präeuklidischen Ebene immer existieren, ist die wesentliche Forderung die nach einer <a href="Symmetrieachse" class="mw-redirect" title="Symmetrieachse">Symmetrieachse</a> für die sich schneidenden Geraden, also nach einer Winkelhalbierenden. Aus der Existenz <i>einer</i> Winkelhalbierenden folgt stets die Existenz genau einer zweiten, die senkrecht zur ersten ist.

</p><p>Eine präeuklidische Ebene, die das <a href="Axiom" title="Axiom">Axiom</a> für Winkelhalbierende erfüllt, wird als <b>frei bewegliche Ebene</b> bezeichnet.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Friedrich_Bachmann_(Mathematiker)" title="Friedrich Bachmann (Mathematiker)">Friedrich Bachmann</a>: <i>Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff.</i> 2. Auflage. Springer, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1973, ISBN 978-3-642-65538-8.</li></ul>

<dl><dd>Zusammenfassung: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0123?tify={%22pages%22:%5B345%5D}">Zur Begründung der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff.</a> Mathematische Annalen, Bd. 123, 1951, S. 341ff.</dd></dl>

<ul><li>Wendelin Degen und Lothar Profke: <i>Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie</i>, Teubner, Stuttgart, 1976, ISBN 3-519-02751-8</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Commons"></span></span></div><b><span class=""><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Angle_bisection?uselang=de"><span lang="en">Commons</span>: Winkelhalbierende</a></span></b> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><span class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wiktionary"></span></span></span><b><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Winkelhalbierende" class="extiw external" title="wikt:Winkelhalbierende">Wiktionary: Winkelhalbierende</a></b> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><span class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wiktionary"></span></span></span><b><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Winkelsymmetrale" class="extiw external" title="wikt:Winkelsymmetrale">Wiktionary: Winkelsymmetrale</a></b> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/math4u/var/PD1.html">Klassische Transversalen</a> – Innen- und Außenwinkelhalbierende unter D.7</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: <cite style="font-style:italic">Elemente der Geometrie</cite>. 5. Auflage. Springer Spektrum, Berlin Heidelberg 2017, ISBN 978-3-662-50322-5, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>13</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Winkelhalbierende&rft.au=Harald+Scheid%2C+Wolfgang+Schwarz&rft.btitle=Elemente+der+Geometrie&rft.date=2017&rft.edition=5.&rft.genre=book&rft.isbn=9783662503225&rft.pages=13&rft.place=Berlin+Heidelberg&rft.pub=Springer+Spektrum" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Benölken, Gorski, Müller-Philipp: <cite style="font-style:italic">Leitfaden Geometrie: Für Studierende der Lehrämter</cite>. 7. Auflage. Springer Spektrum, 2018, ISBN 978-3-658-23377-8, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>303</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Winkelhalbierende&rft.au=Ben%C3%B6lken%2C+Gorski%2C+M%C3%BCller-Philipp&rft.btitle=Leitfaden+Geometrie%3A+F%C3%BCr+Studierende+der+Lehr%C3%A4mter&rft.date=2018&rft.edition=7.&rft.genre=book&rft.isbn=9783658233778&rft.pages=303&rft.pub=Springer+Spektrum" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="cite">Victor Oxman: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200425.pdf"><i>On the existence of triangles with given lengths of one side and two adjacent angle bisectors.</i></a> (PDF) Forum Geometricorum 4, 2004, <span style="white-space:nowrap;">S. 215</span>,<span class="Abrufdatum"> abgerufen am 14. Juni 2022</span>.</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AWinkelhalbierende&rft.title=On+the+existence+of+triangles+with+given+lengths+of+one+side+and+two+adjacent+angle+bisectors&rft.description=On+the+existence+of+triangles+with+given+lengths+of+one+side+and+two+adjacent+angle+bisectors&rft.identifier=https%3A%2F%2Fforumgeom.fau.edu%2FFG2004volume4%2FFG200425.pdf&rft.creator=Victor+Oxman&rft.publisher=Forum+Geometricorum+4&rft.date=2004"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/AngleBisector.html"><i>Angle Bisector</i>.</a> In: <i><a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a></i> (englisch). </span>

</li>

<li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text">Stephen Buckley, Desmond MacHale, Department of Mathematics, University College, Cork: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.maths.nuim.ie/staff/sbuckley/Papers/divide_angle.pdf">Dividing an angle into equal parts</a></span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

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</body></html>